已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若时,函数在闭区间上的最大值为,求的取值范围.
(1)单调增区间分别为,,单调减区间为;(2).
【解析】
试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式的基础知识,考查分类讨论思想,考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,当时,函数解析式中没有参数,直接求导,令导数大于0和小于0,分别解出函数的单调增区间和单调减区间;第二问,因为的两个根是和1,所以需要讨论和1的大小,分3种情况进行讨论,分别列表判断函数的单调性、极值、最值,求出函数在闭区间上的最大值判断是否等于,求出的取值范围.
试题解析: 2分
(1)当时,
当或时,,
当,,
所以的单调增区间分别为,, 5分
的单调减区间为.
(2)(Ⅰ)当时,,在 上单调递增,最大值为
(Ⅱ)当时,列表如下:
x |
0 |
(0,a) |
a |
(a,1) |
1 |
(1,1+a) |
a+1 |
f/(x) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
|
增 |
极大值f(a) |
减 |
|
增 |
|
由表知在上的最大值,只有可能是或
所以只需
解得,此时.
(Ⅲ)当时,列表如下:
x |
0 |
(0,1) |
1 |
(1 ,a) |
a |
(a,1+a) |
a+1 |
f/(x) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
|
增 |
极大值f(1) |
减 |
|
增 |
|
由表知在上的最大值,只有可能是或
所以只需
解得,此时. 11分
由(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)得,
所以满足条件的的取值范围是. 12分
考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.利用导数求函数的极值和最值;3.作差法比较大小.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年广东省深圳市宝安区高三上学期调研考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数,.
(1)当为何值时,取得最大值,并求出其最大值;
(2)若,,求的值.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年福建省高三5月高考三轮模拟文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数,
(1)当且时,证明:对,;
(2)若,且存在单调递减区间,求的取值范围;
(3)数列,若存在常数,,都有,则称数列有上界。已知,试判断数列是否有上界.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江西省高三第三次模拟考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数 ,.
(1)当 时,求函数 的最小值;
(2)当 时,讨论函数 的单调性;
(3)是否存在实数,对任意的 ,且,有,恒成立,若存在求出的取值范围,若不存在,说明理由。
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