Question

巳知函数f（x）=2sinxcos（

3

2

π+x）+

3

cosxsin(π+x)+sin(

π

2

+x) cosx
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：利用同角平方关系及二倍角公式对函数化简可得f(x)=

3

2

-sin(2x+

π

6

)
（1）由正弦函数的性质可得-1≤sin(2x+

π

6

)≤1，代入可求函数的值域
（2） 由正弦函数的性质可得，由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤ 

3π

2

+2kπ可得，

π

6

+kπ≤x ≤

2π

3

+kπ即为所求的单调区间．

解答：解：f（x）=2sin2x-

3

sinx•cosx+cos2x
=sin2x-

3

sinxcosx+1
=

1-cos2x- 3 sin2x

2

+1
=

3

2

-sin(2x+

π

6

)
（1）∵sin(2x+

π

6

)∈[-1，1]
∴f(x)∈[

1

2，

，

5

2

]
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤ 

3π

2

+2kπ
可得，

π

6

+kπ≤x ≤

2π

3

+kπ
即函数在[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]   k∈Z单调递减

点评：本题主要考查了同角平方关系，二倍角公式在三角函数化简中应用，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的值域及单调区间的求解，考查的是对基础知识、基本方法的掌握．