Question

（2013•丽水一模）已知函数f(x)=

1

2

x(1+ae-2x+2)．
（Ⅰ）若a=1，记g（x）=f′（x），求证：当x＞

1

2

时，0≤g(x)＜

1

2

；
（Ⅱ）若x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，且x₁＜1＜x₂，若f(xi)＜

4

3

（i=1，2），求实数a的取值范围．（注：e是自然对数的底数．）

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1，f（x）=

1

2

x（1+e^-2x+2），可求得g（x）=f′（x），x=1时，g′（1）=0；对x分

1

2

＜x＜1与x＞1讨论，即可证得结论；
（Ⅱ）可求得f′（x_i），由f′（x_i）=

1

2

+a（

1

2

-x_i）e-2xi+2=0可求得e2xi-2=a（2x_i-1），继而得a＞0，利用（Ⅰ）的结论可求得f（x_i）

1

4

[（2x_i-1）+

1

2xi-1

]+

1

2

，结合已知有f（x_i）＜

4

3

，从而可求得x_i＜

1

2

或

2

3

＜x_i＜2，再对之分类讨论，解不等式组即可．

解答：解（Ⅰ）  因为 a=1，所以f（x）=

1

2

x（1+e^-2x+2），
g（x）=f′（x）=

1

2

x（1+e^-2x+2）+

1

2

x•（-2）e^-2x+2=

1

2

+（

1

2

-x）e^-2x+2=，
经观察得，x=1时，g′（1）=0；
当

1

2

＜x＜1时，g′（x）＜0，
当x＞1时，g′（x）＞0
所以，g（x）≥g（1）=0，又

1

2

-x＜0，
所以，g（x）=

1

2

+（

1

2

-x）e^-2x+2＜

1

2

，
所以，当x＞

1

2

时，0≤g（x）＜

1

2

…（6分）
（Ⅱ） 由f′（x_i）=

1

2

+a（

1

2

-x_i）e-2xi+2=0
得：e2xi-2=a（2x_i-1），
因为方程e^2x-2=a（2x-1）有两解，所以a＞0
由f（x_i）=

1

2

x_i（1+ae-2xi+2）=

1

2

x_i（1+

1

2xi-1

）=

1

4

[（2x_i-1）+

1

2xi-1

]+

1

2

＜

4

3

，
解得：x_i＜

1

2

或

2

3

＜x_i＜2，
（ⅰ） 当x₁＜

1

2

，1＜x₂＜2时，

a＞0 e-1＜0 1＜a e2＞3a

⇒无解
（ⅱ） 当

2

3

＜x₁＜1，1＜x₂＜2时，

a＞0 e- 2 3 ＞ 1 3 a 1＜a e2＞3a

解得1＜a＜3e-

2

3

，
所以，实数a的取值范围为（1，3e-

2

3

） …（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，考查抽象思维与创新意识，考查转化思想与分类讨论思想的运用，属于难题．