Question

（1）解不等式：|x-1|+|x+1|≤4；
（2）已知a，b，c∈R⁺，且abc=1，求证：

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥a+b+c．

Answer 1

分析：（1）分x＜-1、-1≤x≤1、x＞1三种情况，分别去掉绝对值，求出不等式的解集，再把解集取并集，即得所求．
（2）根据abc=1，利用基本不等式可得

1

a2

+

1

b2

≥2

1

ab

=2c，同理可得

1

b2

+

1

c2

≥2•

1

bc

=2a，

1

c2

+

1

a2

≥2•

1

ca

=2b．把这几个不等式相加，再两边同时除以2，即得所证．

解答：（1）解：当x＜-1时，原不等式化为：x≥-2，∴-2≤x＜-1．
当-1≤x≤1时，原不等式化为2≤4，恒成立，∴-1≤x≤1．
当x＞1时，原不等式化为：x≤2，∴1＜x≤2．
综上，不等式解集为[-2，2]．
（2）证明：∵abc=1，∴

1

a2

+

1

b2

≥2

1

ab

=2c，
同理可得

1

b2

+

1

c2

≥2•

1

bc

=2a，

1

c2

+

1

a2

≥2•

1

ca

=2b．
∴2(

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

)≥2(a+b+c)，
∴

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥a+b+c．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用综合法、基本不等式证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．