【题目】已知函数,.
(Ⅰ)当时,求函数在上的最值;
(Ⅱ)讨论函数的单调区间;
(Ⅲ)当时,对任意,都有恒成立,求的最小值.
【答案】(Ⅰ),; (Ⅱ)当时,增区间为,减区间为;当时,增区间为和,减区间为;当,增区间为;当时,增区间为和,减区间为; (Ⅲ)1.
【解析】
(Ⅰ)表示此时的,对其求导分析单调性,分别计算端点值与极大(小)值,比较其中最大的为最大值,最小的为最小值;
(Ⅱ)求导,利用分类讨论最高次项是否为零,并因式分解表示的两根,再利用分类讨论两根的大小,进而判定单调性;
(Ⅲ)当时,求得此时的最大值;当时,利用二次函数定区间动轴问题的讨论方式,求得此时的最大值;由恒成立即求得的最小值.
(Ⅰ)当时,有,则,则
+ | 0 | - | 0 | + | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
因为,,,
所以,
(Ⅱ)由题可知,
当时,的增区间为,减区间为
当时,的增区间为和,减区间为
当,的增区间为
当时,的增区间为和,减区间为
(Ⅲ)①当时,在上的最大值为1
②当时,的对称轴为,
若即时,
而,所以
若即时,
由,,所以
综上所述,当时,对任意,
因为恒成立,所以
故的最小值为1
法2:解:,由题得:
,对于,以及恒成立.
①首先必须
对恒成立,对恒成立
,于是必须
②其次,再证明合乎题意.
要证,即证
事实上,,,
另外
两式相乘立即知道(A)成立.综合(1),(2)得的最小值为1
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【题目】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
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【题目】已知椭圆的离心率为,右焦点为,直线l经过点F,且与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当直线l绕点F转动时,试问:在x轴上是否存在定点M,使得为常数?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;
(3)从(2)中抽取的5位女性中,再随机抽取3人赠送礼品,试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.
参考公式: ,其中.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于,两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若点的极坐标为,,求的值.
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【题目】某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创文”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数.满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本.发现所有数据均在内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,回答下列问题:
(1)算出第三组的频数.并补全频率分布直方图;
(2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表)
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