Question

16．已知M（x₀，y₀）是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1上的一点，F₁、F₂是C上的两个焦点，若∠F₁MF₂为钝角，则y₀的取值范围是$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

Answer 1

分析 利用向量的数量积公式，结合双曲线的方程，即可求出y₀的取值范围．

解答 解：由题意，∵∠F₁MF₂为钝角，
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）•（$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）=x₀²-3+y₀²=3y₀²-1＜0，且3y₀²-1≠-1
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜y₀＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$且y₀≠-1．
∴y₀的取值范围是$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．
故答案为：$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

点评 本题考查向量的数量积公式、双曲线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．