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四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.
(Ⅰ)求该四面体的体积的最大值;
(Ⅱ)当四面体的体积最大时,求其表面积.

解:(Ⅰ)如图,
在四面体ABCD中,设AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取AD的中点为P,
BC的中点为E,连接BP、EP、CP.
∵AB=BD,P为AD中点,∴BP⊥AD,
∵AC=CD,P为AD中点,∴PC⊥AD,
又BP∩PC=P,∴AD⊥平面BPC,
∴VA-BCD=VA-BPC+VD-BPC
=S△BPC•AP+S△BPC•PD
=S△BPC•AD
=וx
==a3(当且仅当x=a时取“=”).
∴该四面体的体积的最大值为a3
(Ⅱ)由(1)知,△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形,
△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰长为a,底边长为a,
∴S△ABC=S△BCD=
S△ABD=S△ACD==
所以当四面体的体积最大时,其表面积S==a2
分析:(Ⅰ)设出四面体A-BCD,不妨设棱AB、AC、BC、BD、CD相等且为定值a,把棱AD看作动的棱,设为x,取AD的中点P,
连接BP、CP后,四面体A-BCD分成了两个同底面的三棱锥A-BPC和D-BPC,四面体的体积转化为此两个三棱锥的体积和,整理后化为关于x的函数,然后运用基本不等式求四面体体积的最大值.
(Ⅱ)求出使四面体体积最大时的x的值,四面体的表面积就是表面四个三角形的面积和,可直接运用三角形的面积求解.
点评:本题考查了棱锥的体积和表面积,考查了学生的空间想象能力和数学转化能力,考查了函数思想,运用了基本不等式求函数的最值,此题是中档题.
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四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a,则该四面体的体积的最大值为(  )

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1
8
a3
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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a,则该四面体的体积的最大值为(  )
A.
3
8
a3
B.
2
8
a3
C.
1
8
a3
D.
1
12
a3

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科目:高中数学 来源:2013年高考数学压轴小题训练:三棱锥的计算问题(解析版) 题型:填空题

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