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如图,已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆经过点(),且它的左焦点F1将长轴分成2∶1,F2是椭圆的右焦点.

    (1)求椭圆的标准方程;

    (2)设P是椭圆上不同于左右顶点的动点,延长F1P至Q,使Q、F2关于∠F1PF2的外角平分线l对称,求F2Q与l的交点M的轨迹方程.

 

【答案】

  解:(1)设椭圆的方程为(a>b>0),半焦距为c,则a2-b2=c2

∵ 椭圆经过点(),

又∵ 它的左焦点F将长轴分成2∶1,

∴ (a+c)∶(a-c)=2∶1,整理得a=3c.

联立①②③,即  解得a2=36,b2=32,c2=4.

∴ 椭圆的标准方程为.            ……………………4分

(2)∵ Q、F2关于∠F1PF2的外角平分线l对称,

∴ |PQ|=|PF2|,且M是F2Q的中点.

由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=12,

∴ |PF1|+|PQ|=12,即|F1Q|=12,

∴ Q的轨迹是以F1(-2,0)为圆心,12为半径的圆(除去与x轴的两个交点),其轨迹方程为(x+2)2+y2=144(y≠0).  …………………7分

设M(x,y),Q(a,b),由(1)知F2(2,0),

  可整理得a=2x-2,b=2y,

∵ Q(a,b)在圆(x+2)2+y2=144(y≠0)上运动,

∴ (2x-2+2)2+(2y)2=144,即x2+y2=36.

∴ M的轨迹方程为x2+y2=36(y≠0).       ……………………10分

【解析】略

 

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