如图,已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆经过点(,),且它的左焦点F1将长轴分成2∶1,F2是椭圆的右焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P是椭圆上不同于左右顶点的动点,延长F1P至Q,使Q、F2关于∠F1PF2的外角平分线l对称,求F2Q与l的交点M的轨迹方程.
解:(1)设椭圆的方程为(a>b>0),半焦距为c,则a2-b2=c2,
∵ 椭圆经过点(,),
∴ .
又∵ 它的左焦点F将长轴分成2∶1,
∴ (a+c)∶(a-c)=2∶1,整理得a=3c.
联立①②③,即 解得a2=36,b2=32,c2=4.
∴ 椭圆的标准方程为. ……………………4分
(2)∵ Q、F2关于∠F1PF2的外角平分线l对称,
∴ |PQ|=|PF2|,且M是F2Q的中点.
由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=12,
∴ |PF1|+|PQ|=12,即|F1Q|=12,
∴ Q的轨迹是以F1(-2,0)为圆心,12为半径的圆(除去与x轴的两个交点),其轨迹方程为(x+2)2+y2=144(y≠0). …………………7分
设M(x,y),Q(a,b),由(1)知F2(2,0),
∴ 可整理得a=2x-2,b=2y,
∵ Q(a,b)在圆(x+2)2+y2=144(y≠0)上运动,
∴ (2x-2+2)2+(2y)2=144,即x2+y2=36.
∴ M的轨迹方程为x2+y2=36(y≠0). ……………………10分
【解析】略
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(12分)如图,已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足,求的最小值.
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