如n是不小于3的自然数,以f(n)表示不是n的因数的最小自然数(例如f(12)=5).如果f(n)≥3,又可作f(f(n)).类似地,如果f(f(n))≥3,又可作f(f(f(n)))
果用Ln表示n的长度,试对任意的自然数n(n≥3),求Ln并证明你的结论.解析:很明显,若奇数n≥3,那么f(n)=2,因此只须讨论n为偶数的情况,我们首先证明,对任何n≥3,f(n)=ps,这里P是素数,s为正整数.假若不然,若f(n)有两个不同的素因子,这时总可以将f(n)表为f(n)=ab,其中a、b是大于1的互素的正整数.由f的定义知,a与b都应能整除n,因(a,b)=1,故ab也应整除n,这与f(n)=ab矛盾.所以f(n)=ps.
由此可以得出以下结论:
(1)当n为大于1的奇数时,f(n)=2,故Ln=1;
(2)设n为大于2的偶数,如果f(n)=奇数,那么f(f(n))=2,这时Ln=2;如果f(n)=2s,其中自然数s≥2,那么f(f(n))=f(2s)=3,从而f(f(f(n)))=f(3)=2,这时Ln=3.
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n |
k=1 |
C | k n |
n |
k=1 |
C | k n |
an |
bn |
n |
k=1 |
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n2-3n |
2 |
n2-3n |
2 |
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2 |
n2-3n |
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