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已知:定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
(1)若a=1,求:f(x)的图象在点(1,-2)处的切线方程;
(2)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求:实数a的值;
(3)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求:实数a的取值范围.
分析:(1)把a=1代入f(x),求出f(x)的导函数,把切点的横坐标x=1代入导函数中,得到的导函数值即为切线方程的斜率,根据求出的斜率和切点坐标写出切线的方程即可;
(2)求出f(x)的导函数,由x=1是函数f(x)的一个极值点,把x=1代入导函数中求出的导函数值为0,得到关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值;
(3)当a等于0时,代入确定出f(x),得到f(x)在区间(-1,0)为增函数,得到a=0满足题意;当a不等于0时,分a大于0和a小于0两种情况考虑,当a大于0时,得到导函数在区间(-1,0)上其值大于0,所以a大于0满足题意,当a小于0时,令导函数大于0求出a的取值范围,综上,得到所有满足题意的a的取值范围.
解答:解:(1)当a=1时,f(x)=x3-3x2,则f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
则k=f′(1)=-3,
∴切线方程为:y+2=-3(x-1),即3x+y-1=0;
(2)f(x)=ax3-3x2,得到f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),
∵x=1是f(x)的一个极值点,
∴f′(1)=0即3(a-2)=0,∴a=2;
(3)①当a=0时,f(x)=-3x2在区间(-1,0)上是增函数,则a=0符合题意;
②当a≠0时,f′(x)=3ax(x-
2
a
),令f′(x)=0,则x1=0,x2=
2
a

当a>0时,对任意x∈(-1,0),f′(x)>0,则a>0符合题意;
当a<0时,当x∈(
2
a
,0)时,f′(x)>0,则
2
a
≤-1,∴-2≤a<0符合题意,
综上所述,a≥-2满足要求.
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,掌握导函数的正负与函数单调性之间的关系,掌握函数在某点取得极值的条件,是一道中档题.
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