Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n和为S_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n；
（3）求证：对任意的n∈N^*有1+

n

2

≤S2n≤

1

2

+n成立．

Answer 1

分析：（1）由题设条件可知b_n-b_n+1=b_nb_n+1，从而得

1

bn+1

-

1

bn

=1，所以数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，由此可知数列{b_n}的通项公式．
（2）由题设知T_n=S_2n-S_n=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

+

1

n+1

+

1

2n

-(1+

1

2

+

1

3

++

1

n

)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

．故

1

2n+1

＞

1

2n+2

，由此可证明T_n+1＞T_n．
（3）根据题设条件可以用数学归纳法进行证明．

解答：解：（1）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，（1分）
∵b_n≠0否则a_n=1，与a₁=2矛盾
从而得

1

bn+1

-

1

bn

=1，（3分）
∵b₁=a₁-1=1
∴数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列
∴

1

bn

=n，即bn=

1

n

．（4分）
（2）∵Sn=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

∴T_n=S_2n-S_n=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

+

1

n+1

+

1

2n

-(1+

1

2

+

1

3

++

1

n

)
=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

（6分）
∵2n+1＜2n+2∴

1

2n+1

＞

1

2n+2

∴Tn+1-Tn＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0
∴T_n+1＞T_n．（8分）
（3）用数学归纳法证明：
①当n=1时1+

n

2

=1+

1

2

，S2n=1+

1

2

，

1

2

+n=

1

2

+1，不等式成立；（9分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即1+

k

2

≤S2k≤

1

2

+k，那么当n=k+1时S2k+1=1+

1

2

++

1

2k

++

1

2k+1

≥1+

k

2

+

1

2k+1

++

1

2k+1

＞1+

k

2

+

1 2k+1 ++ 1 2k+1

2k个

=1+

k

2

+

1

2

=1+

k+1

2

（12分）S2k+1=1+

1

2

++

1

2k

++

1

2k+1

≤

1

2

+k+

1

2k+1

++

1

2k+1

＜

1

2

+k+

1 2k ++ 1 2k

2k个

=

1

2

+(k+1)
∴当n=k+1时，不等式成立
综①②知对任意的n∈N^*，不等式成立．（14分）

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．