【题目】在三棱柱中,侧面为矩形, , , 是的中点, 与交于点,且平面.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)若, 的重心为,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(1)利用题意首先证明: 平面,然后利用面面垂直的判断定理即可证明平面平面
(2)利用题中结合体的结构特征,以为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系.利用平面的法向量和直线的方向向量求得.
试题解析:
(Ⅰ) 为矩形, , , 是的中点,
, , ,
从而, ,
, ,
,
,从而
平面, 平面,
,
, 平面,
平面,
平面平面
(Ⅱ)
如图,以为坐标原点,
分别以所在直线为轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
在矩形中,由于,所以和相似,
从而
又,
, , ,
, ,
为的重心,
设平面的法向量为,
,
由可得 ,
令,则, ,所以.
设直线与平面所成角,则
,
所以直线与平面所成角的正弦值为
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【题目】对于数列,定义, .
(1) 若,是否存在,使得?请说明理由;
(2) 若, ,求数列的通项公式;
(3) 令,求证:“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列,且为等差数列”.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的倾斜角;
(2)设点,直线和曲线交于两点,求的值.
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【题目】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(1,).
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:x2+y2=相切的直线l交椭圆C与A,B两点,求△OAB面积的最大值,及取得最大值时直线l的方程.
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【题目】宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.问底子(每层三角形边茭草束数,等价于层数)几何?”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束,下一层3束,再下一层6束,…,成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示第二层开始的每层茭草束数),则本问题中三角垛底层茭草总束数为 .
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【题目】团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式,不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务, 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况,从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查,他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.
(1)从所调查的50家商家中任选两家,求他们加入团购网站的数量不相等的概率;
(2)从所调查的50家商家中任取两家,用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望;
(3)将频率视为概率,现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家,记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为,试求事件“”的概率.
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【题目】如图所示,在四棱锥中, 平面是的中点, 是上的点且为边上的高.
(1)证明: 平面;
(2)若,求三棱锥的体积;
(3)在线段上是否存在这样一点,使得平面?若存在,说出点的位置.
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【题目】设O为坐标原点,点P的坐标(x﹣2,x﹣y)
(1)在一个盒子中,放有标号为1,2,3的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x,y,求|OP|的最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率;
(2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x,y,求P点在第一象限的概率.
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【题目】为了得到函数y=3sin(2x+ )的图象,只要把函数y=3sinx的图象上所有的点( )
A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再把所得图象所有的点向左平移 个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得图象所有的点向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度,再把所得图象所有的点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)
D.向左平移 个单位长度,再把所得图象所有的点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
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