Question

函数f(x)=

x3

3

+ax2-(2a+1)x．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）对满足-1≤a≤1的a一切的值，都有f'（x）＞0，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，令f′（x）=0，比较两根的大小，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调区间；
（II）f′（x）=x²+2ax-（2a+1），构造函数g（a）=2（x-1）a+x²-1，对满足-1≤a≤1的a一切的值，都有f'（x）＞0，即g（a）＞0，由此可得不等式，即可求得实数x的取值范围．

解答：解：（I）求导函数可得f′（x）=x²+2ax-（2a+1）
令f′（x）=0，解得x=1或-2a-1
若a=-1，则f′（x）≥0，故函数在R上单调递增；
若a＜-1，则x∈（1，-2a-1）时，f′（x）＜0，x∈（-∞，1）∪（-2a-1，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（1，-2a-1）上单调递减，在（-∞，1）和（-2a-1，+∞）上单调递增；
若a＞-1，则x∈（-2a-1，1）时，f′（x）＜0，x∈（-∞，-2a-1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（-2a-1，1）上单调递减，在（-∞，-2a-1）和（1，+∞）上单调递增；
（II）f′（x）=x²+2ax-（2a+1）
构造函数g（a）=2（x-1）a+x²-1，对满足-1≤a≤1的a一切的值，都有f'（x）＞0，即g（a）＞0
∴

g(1)＞0 g(-1)＞0

，∴

x2+2x-3＞0 x2-2x+1＞0

解得x＞1或x＜-3，
∴实数x的取值范围为（-∞，-3）∪（1，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，合理构造新函数．