Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是正方形， 平面， 分别为的中点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥与四棱锥的体积之比.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明过程详见解析；（3）1：4

【解析】试题分析：（1）欲证平面平面，根据面面垂直的判定定理可知在平面内一直线与平面垂直，而根据线面垂直的判定定理可知平面平面，满足定理条件；（2）证明，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（3）不妨设，求出，得到 ，求出PD，根据面，所以即为点到平面的距离，根据三棱锥的体积公式求出体积得到 的比值．

试题解析：

(1)证明：∵分别为的中点，

∴，

又∵四边形是正方形，

∴，∴，

∵在平面外， 在平面内，

∴平面， 平面，

又∵都在平面内且相交，

∴平面平面.

(2)证明：由已知平面，

∴平面.

又平面，∴.

∵四边形为正方形，∴，

又，∴平面，

在中，∵分别为的中点，

∴，∴平面.

又平面，∴平面平面.

(3)解：∵平面，四边形为正方形，不妨设，则.

∵平面，且，

∴即为点到平面的距离，

∴.