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已知函数在点(-1,f(-1))的切线方程为x+y+3=0.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=lnx,求证:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.
【答案】分析:(I)首先求出f(1)的值,进而得出b-a=-4,然后求出函数的导数,求出f'(-1)==-1,就可以求出a、b的值,得出函数的解析式;
(II)将不等式整理得出(x2+1)lnx≥2x-2,问题转化成x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立,然后设h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,并求出h'(x),得出x≥1时h'(x)≥0,可知h(x)在[1,+∞)上单调递增,从而求出h(x)的最小值,得出结果.
解答:解:(Ⅰ)将x=-1代入切线方程得y=-2
,化简得b-a=-4.                …(2分)
.                    …(4分)
解得:a=2,b=-2
.                                      …(6分)
(Ⅱ)由已知得在[1,+∞)上恒成立
化简得(x2+1)lnx≥2x-2
即x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立.             …(8分)
设h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,
∵x≥1∴,即h'(x)≥0.         …(10分)
∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h(1)=0
∴g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.                      …(12分)
点评:本题考查了利用导数研究某点的切线方程以及函数恒成立问题,关于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题,属于中档题.
练习册系列答案
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