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    （2012•黄浦区一模）已知a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=-6a，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*）．
    （1）求证数列{bn}是等比数列；
    （2）已知数列{cn}满足cn=
    an3n
    （n∈N*），试建立数列{cn}的递推公式（要求不含an或bn）；
    （3）若数列{an}的前n项和为Sn，求Sn．
    分析：（1）由a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，解得a=-2，b=3，a2=-12．由a1=1，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*），得到bn+1=an+2-3an+1=3bn（n∈N*）．由此能够证明数列{bn}是等比数列．
    （2）由bn=3n+1(n∈N*)，得
    an+1
    3n+1
    -
    an
    3n
    =1，(n∈N*)    ．由此能够推导出数列{cn}的递推公式．
    （3）由cn=
    3n-2
    3
    ，（n∈N*），得an=3n•cn=（3n-2）•3n-1，（n∈N*）．由此利用错位相减法能够求出数列{an}的前n项和．
    解答：（1）证明：∵a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，
    ∴a=-2，b=3，a2=-12．
    ∵a1=1，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*），
    ∴bn+1=an+2-3an+1
    =6an+1-9an-3an+1
    =3（an+1-3an）
    =3bn（n∈N*）．
    又b1=a2-3a1=9，
    ∴数列{bn}是公比为3，首项为b1的等比数列．
    （2）解：由（1）得bn=3n+1(n∈N*)．
    于是，有an+1-3an=3n+1（n∈N*），
    即
    an+1
    3n+1
    -
    an
    3n
    =1，(n∈N*)    ．
    又cn=
    an
    3n
    ，（n∈N*），则cn+1-cn=1，n∈N*．
    因此，数列{cn}的递推公式是
    c1=
    1
    3
    cn+1-cn=1
    ，n∈N*    ．
    （3）解：由（2）可知，数列{cn}是公差为1，首项为
    1
    3
    的等差数列，
    于是cn=
    3n-2
    3
    ，（n∈N*）．
    故an=3n•cn=（3n-2）•3n-1，（n∈N*）．
    因此，Sn=a1+a2+…+an
    =1+4•3+7•32+…+（3n-2）•3n-1，
    3Sn=1•3+4•32+7•33+…+（3n-2）•3n，
    将上述两个等式相减，
    得-2Sn=1+32+33+…+3n-(3n-2)•3n=1+
    9(1-3n-1)
    1-3
    -（3n-2）•3n，
    ∴2Sn=n•3n+1-
    7
    2
    •3n    +
    7
    2
    ．
    所以Sn=
    1
    2
    n•3n+1    -
    7
    4
    •3n    +
    7
    4
    ，（n∈N*）．
    点评：本题考查等比数列的证明，数列的递推公式的推导，数列前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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    3
    5
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    5
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    -
    33
    65
    -
    33
    65
    ．

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    -
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    		2
    2
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