Question

【题目】如图,多面体ABCDE中，四边形ABED是直角梯形，∠BAD=90°，DE∥AB，△ACD是的正三角形，CD=AB=DE=1，BC=

（1）求证：△CDE是直角三角形

（2） F是CE的中点，证明：BF⊥平面CDE

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1)根据勾股定理先证明AB⊥AC，结合AB⊥AD，即可证出AB⊥平面ACD，又DE∥AB所以DE⊥平面ACD，即可证明△CDE是直角三角形.

(2) 取CD中点M，连接AM、MF. 先证出MF⊥平面ACD即可得平面CDE⊥平面ACD，利用面面垂直的性质定理可证得AM⊥面CDE，又AM∥BF，即可证出BF⊥平面CDE.

（1）证明：∵∠BAD=90°∴AB⊥AD

△ACD是的正三角形，CD=AB=1，BC=，

∴△ABC是直角三角形，AB⊥AC

∴AB⊥平面ACD

∵DE∥AB

∴DE⊥平面ACD

∴△CDE是直角三角形

(2)证明:取CD中点M，连接AM、MF.

∵F是CE的中点

∴AMFB是平行四边形

∴MF∥AB，AM∥BF

∴MF⊥平面ACD

∵MF在平面ECD内

∴平面CDE⊥平面ACD

∵△ACD是的正三角形，M是CD中点

∴AM⊥CD

平面CED∩平面ACD=CD,∴AM⊥面CDE，

∵AM∥BF，

∴BF⊥平面CDE