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若数列{an}满足:a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数),则称数列{an}为二阶线性递推数列,且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程,方程的根称为特征根; 数列{an}的通项公式an均可用特征根求得:
①若方程x2=px+q有两相异实根α,β,则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn,(其中c1,c2是待定常数);
②若方程x2=px+q有两相同实根α,则数列通项可以写成an=(c1+nc2)αn,(其中c1,c2是待定常数);
再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an.根据上述结论求下列问题:
(1)当a1=1,a2=2,an+2=4an+1-4an(n∈N*)时,求数列{an}的通项公式;
(2)当a1=5,a2=13,an+2=5an+1-6an(n∈N*)时,若数列{an+1-λan}为等比数列,求实数λ的值;
(3)当a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*)时,求Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn的值.

解:(1)an+2=4an+1-4an的特征根方程为:
x2-4x+4=0,
解得两个相等的实根x1=x2=2,…(3分)
所以设通项an=(c1+c2n)•2n
由a1=1,a2=2可得:

所以an=2n-1,n∈N*…(6分)
(2)由an+2=5an+1-6an可知特征方程为:
x2-5x+6=0,x1=2,x2=3…(8分)
所以 an=c1•2n+c2•3n

得到c1=c2=1,
所以 an=2n+3n,…(9分)
因为{an+1-λan}是等比数列,
所以有(a2-λa1)•(a4-λa3)=(a3-λa22λ=2或λ=3…(10分)
当λ=2时,
当λ=3时,同理可得
所以 λ=2或λ=3…(12分)
(3)同样可以得到通项公式:,…(14分)
所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn
=
=
=
…(18分)
分析:(1)an+2=4an+1-4an的特征根方程为:x2-4x+4=0解得两个相等的实根x1=x2=2,由此能求出数列{an}的通项公式.
(2)由an+2=5an+1-6an可知特征方程为:x2-5x+6=0,x1=2,x2=3.所以 an=c1•2n+c2•3n,由得到c1=c2=1,所以 an=2n+3n,再通过分类讨论能求出λ的值.
(3)由,知Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn=,由此能求出Sn
点评:本题考查数列的通项公式,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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②等差数列{an} 的递进上限数列一定仍是等差数列
③等比数列{an} 的递进上限数列一定仍是等比数列
正确命题的个数是(  )

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(Ⅲ)在(II)的条件.下,记sn=
a1
1+a1
+
a1a2
(1+a1)(1+a2)
+…+
a1a2an
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
,求证:sn<1.

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已知函数f(x)=
x
x+1
,若数列{an}满足:an>0,a1=1,an+1=[f(
an
)]2
(I)求数列{an}的通项公式数列an
(II)若数列{an}的前n项和为Sn,证明:Sn<2.

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