Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+x＞0；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）+x＞0可化为|x﹣2|+x＞|x+1|， 当x＜﹣1时，﹣（x﹣2）+x＞﹣（x+1），解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜﹣1；
当﹣1≤x≤2时，﹣（x﹣2）+x＞x+1，解得x＜1，即﹣1≤x＜1；
当x＞2时，x﹣2+x＞x+1，解得：x＞3，即x＞3，
综上所述，不等式f（x）+x＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1或x＞3}
（Ⅱ）由不等式f（x）≤a2﹣2a，
可得|x﹣2|﹣|x+1|≤a2﹣2a，
∵|x﹣2|﹣|x+1|≤|x﹣2﹣x﹣1|=3，
∴a2﹣2a≥3，即a2﹣2a﹣3≥0，解得a≤﹣1或a≥3，
故实数a的取值范围是a≤﹣1或a≥3
【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，得到关于a的不等式，解出即可．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．