Question

（2012•黄冈模拟）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=1，求曲线y=f(x)在x=

1

2

处切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）设g（x）=2^x，若对任意x₁∈（0，+∞），存在x₂∈[0，1]，使f（x₁）＜g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）运用求导数法则，得f'（x）=1+

1

x

，从而得到曲线y=f(x)在x=

1

2

处切线的斜率k=f'（

1

2

）=3；
（2）首先f'（x）=a+

1

x

，（x＞0），再根据a的正负讨论f'（x）的取值，可得当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数；当a＜0时，f（x）=ax+lnx在（0，-

1

a

）上为增函数，在（-

1

a

，+∞）上为减函数．
（3）由题意，得f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于g（x₂）在[0，1]上的最大值．由指数函数单调性可得g（x₂）在[0，1]上的最大值为g（1）=2，从而得到f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于2．再结合（2）中函数单调性的结论，列出不等式并解之，即可得到实数a的取值范围为（-∞，-

1

e3

）．

解答：解：（1）a=1时，f（x）=x+lnx
∴f'（x）=1+

1

x

，可得f'（

1

2

）=3
∴曲线y=f(x)在x=

1

2

处切线的斜率k=f'（

1

2

）=3
（2）由题意，得f'（x）=a+

1

x

，（x＞0）
∴当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立；
当a＜0时，f'（x）=a+

1

x

在（0，-

1

a

）上为正数，在（-

1

a

，+∞）上为负数
由此可得：当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数；
当a＜0时，f（x）=ax+lnx在（0，-

1

a

）上为增函数，在（-

1

a

，+∞）上为减函数
（3）由题意，得f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于g（x₂）在[0，1]上的最大值．
∵g（x）=2^x，[0，1]上是增函数
∴g（x₂）在[0，1]上的最大值为g（1）=2
即f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于2
当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数，f（x₁）没有最大值；
当a＜0时，f（x₁）在（0，+∞）上的最大值为f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）＜2
解之得a＜-

1

e3

，可得实数a的取值范围为（-∞，-

1

e3

）．

点评：本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的单调性并解决不等式恒成立的问题，着重考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义和含有参数不等式的讨论等知识，属于中档题．