Question

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]时，g（x）+f（x）=x²
（1）求函数g（x）在R上的解析式；
（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据x∈（-∞，0]时，g（x）=2x，g（x）是R上的奇函数，可求得函数g（x）在R上的解析式；
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得|x-1|≥x²-4x，根据绝对值不等式（|x|≥a型）可得：x²-5x+1≤0，x²-3x-1≤0，从而可求得不等式g（x）≥f（x）-|x-1|的解集；
（3）h（x）=-λx²+（2λ+2）x+1，对λ分类讨论，结合函数的单调性可求得λ的取值范围．

解答：解：（1）设x∈[0，+∞），则-x∈（-∞，0]
∵当x∈（-∞，0]时，g（x）+f（x）=x²∴当x∈（-∞，0]时，g（x）=2x
∴g（-x）=-2x∵g（x）是R上的奇函数∴g（x）=-g（-x）=2x，x∈[0，+∞）
∴函数g（x）在R上的解析式，g（x）=2x
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得|x-1|≥x²-4x∴x²-5x+1≤0，x²-3x-1≤0
∴

5- 21

2

≤x≤

5+ 21

2

，

3- 13

2

≤x≤

3+ 13

2

因此，原不等式的解集为[

3- 13

2

，

5+ 21

2

]
（3）h（x）=-λx²+（2λ+2）x+1
①λ=0时，h（x）=2x+1在[-1，1]上是增函数∴λ=0
②当λ≠0，对称轴方程为x=

λ+1

λ

当λ＜0时，

λ+1

λ

≤-1，解得-

1

2

≤λ＜0
当λ＞0时，

λ+1

λ

≥1，解得λ＞0
综上所述，-

1

2

≤λ．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的性质，着重考查学生分类讨论思想与转化思想，灵活运用二次函数的性质的能力，属于难题．