Question

设函数f（x）对任意的实数x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问当-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由．

Answer 1

分析：（1）采用赋值法，令令x=y=0得f（0）=0，再令令y=-x即可；
（2）可先利用单调性的定义判断f（x）在-2≤x≤2时的单调性，再求最值．

解答：解：（1）证明：依题意 令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x得 f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）有最大值4，最小值-4．理由如下：
设-2≤x₁＜x₂≤2，则x₁-x₂＜0，有已知可得f（x₁-x₂）＜0
∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间[-2，2]上是增函数．
又∵f（-2）=2f（-1）=-4，f（2）=-f（-2）=4
∴当-2≤x≤2时，f（x）_max=f（2）=4，f（x）_min=f（-2）=-4．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的奇偶性及单调性的概念及其应用，属于中档题．