Question

抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点P（m，4）到其焦点的距离为5．
（I）求p与m的值；
（II）若直线l：y=kx-1与抛物线C相交于A、B两点，l₁、l₂分别是该抛物线在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与该抛物线的准线交点，求证：|

AM

+

BN

|＞4

2

．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义利用点P（m，4）到其焦点的距离求得p，抛物线方程可得，进而把点P代入求得m．
（2）把直线与抛物线方程联立根据判别式大于0求得k的范围．设A（x_′1，y₁），B（x_′2，y₂），根据韦达定理可得到x_′1+x₂和x₁x₂的表达式，对抛物线方程进行求导得到抛物线在A处的切线的方程，令y=-1代入求得M点的横坐标，同理可求得N点的横标做，进而根据x₁x₂=4，求得M点横坐标和N点横坐标的关系，表示出

AM

和

BN

，根据x_′1+x₂和y_′1+y₂求得|

AM

+

BN

|的表达式，根据k的范围证明原式．

解答：解：（I）根据抛物线定义，4+

p

2

=5，解得p=2
∴抛物线方程为x²=4y，
将P（m，4）代入x²=4y，解得m=±4
（II）l：y=kx-1代入x²=4y得x²-4kx+4=0，①
△=16k²-16＞0，k²＞1，k∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
设A（x_′1，y₁），B（x_′2，y₂），则x_′1+x₂=4k，x₁x₂=4
由x2=4y?y=

1

4

x2?y′=

1

2

x，
所以抛物线在A处的切线l₁的方程为y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x1(x-x1)，
即y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

．
令y=-1，得xM=

x 2 1 -4

2x1

．
同理，得xN=

x 2 2 -4

2x2

．x₁、x₂是方程①的两个实根，故x₁x₂=4，即x2=

4

x1

，
从而有xN=

x 2 2 -4

2x2

=

( 4 x1 )2-4

8 x1

=

4- x 2 1

2x1

=-xM

AM

=(xm-x1，-1-y1)，

BN

=(-xm-x2，-1-y2)，
∵x_′1+x₂=4k，y_′1+y₂=k（x_′1+x₂）-2=4k²-2
∴|

AM

+

BN

|=

(x1+x2)2+(2+y1+y2)2

=

32(k4+k2)

，
∵k²＞1，∴

32(k4+k2)

＞4

2

，
即|

AM

+

BN

|=

( x12 4 + x22 4 +4)2-4

＞4

2

．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．