【题目】设函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R.
(I)若x=e是y=f(x)的极值点,求实数a的值;
(Ⅱ)若函数y=f(x)﹣4e2只有一个零点,求实数a的取值范围
【答案】(1)a=e或a=3e;(2)(-∞,3e)
【解析】
试题解析:(Ⅰ)函数f(x)=(x﹣a)2 lnx,a∈R.
∴ f′(x)=2(x﹣a)lnx+=(x﹣a)(2lnx+1﹣),
由x=e是f(x)的极值点,所以f′(e)=0
解得a=e或a=3e.
经检验,a=e或a=3e符合题意,所以a=e或a=3e;
(Ⅱ)由已知得方程f(x)=4e2只有一个根,
即曲线f(x)与直线y=4e2只有一个公共点.
易知f(x)∈(﹣∞,+∞),设,
①当a≤0时,易知函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,满足题意;
②当0<a≤1时,易知h(x)是单调递增的,又h(a)=2lna<0,h(1)=1﹣a≥0,
∴x0∈(a,1),h(x0)=0,
当0<x<a时,f′(x)=(x﹣a)(2lnx+1﹣)>o
∴f(x)在(0,a)上是单调递增,
同理f(x)在(a,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
又极大值f(a)=0,所以曲线f(x) 满足题意;
③当a>1时,h(1)=1﹣a<0,h(a)=2lna>0,
∴x0∈(1,a),h(x0)=0,即,得a﹣x0=2x0lnx0,
可得f(x)在(0,x0)上单调增,在(x0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增
又f(a)=0,若要函数f(x)满足题意,只需f(x0)<4e2,即(x0-a)2lnx0<4e2
∴x02ln3x0<e2, 由x0>1,知g(x)=x2ln3x>0,且在[1, +∞)上单调递增,
由g(e)=e2,得1<x0<e,因为a=x0+2x0lnx0在[1,+∞)上单调递增,
所以1<a<3e;
综上知,a∈(-∞,3e)
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【题目】在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88,若样本B数据恰好是样本A数据都加上2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A. 众数 B. 平均数
C. 中位数 D. 标准差
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【题目】菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒, 以防止害虫的危害, 但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药, 食用时需要用清水清洗干净, 下表是用清水(单位:千克) 清洗该蔬菜千克后, 蔬菜上残留的农药(单位:微克) 的统计表:
(1)在下面的坐标系中, 描出散点图, 并判断变量与的相关性;
(2)若用解析式作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程, 令,计算平均值与,完成以下表格(填在答题卡中) ,求出与的回归方程.( 精确到)
(3)对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量低于微克时对人体无害, 为了放心食用该蔬菜, 请
估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精确到,参考数据)
(附:线性回归方程中系数计算公式分别为;
, )
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【题目】如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔档的材料为铝合金,宽均为6,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1:2,此铝合金窗占用的墙面面积为28800,设该铝合金窗的宽和高分别为,铝合金窗的透光部分的面积为.
(1)试用表示;
(2)若要使最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少?
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【题目】一对父子参加一个亲子摸奖游戏,其规则如下:父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球,儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球,父子俩取球互相独立,两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖,他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表:
所取球的情况 | 三个球均为红色 | 三个球均为不同色 | 恰有两球为红色 | 其他情况 |
所获得的积分 | 180 | 90 | 60 | 0 |
(1)求一次摸奖中,所取的三个球中恰有两个是红球的概率;
(2)设一次摸奖中,他们所获得的积分为,求的分布列及均值(数学期望);
(3)按照以上规则重复摸奖三次,求至少有两次获得积分为60的概率.
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【题目】已知函数()的图象与直线()相切,并且切点横坐标依次成公差为的等差数列,且的最大值为1.
(1),求函数的单调递增区间;
(2)将的图象向左平移个单位,得到函数的图象,若函数在上有零点,求实数的取值范围.
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【题目】甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)完游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲乙二人抽到的牌的所有情况;
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少?
(3)甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜,你认为此游戏是否公平,说明你的理由.
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