Question

一条直线经过抛物线y²=2x的焦点F，且交抛物线于A、B两点，点C为抛物线的准线上一点．
（Ⅰ）求证：∠ACB不可能是钝角；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求出点C的坐标；否则，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设直线AB的方程为，与抛物线方程联立得y²-2ty-1=0，利用韦达定理就，及用坐标表示向量，计算向量的数量积，即可证得结论；
（Ⅱ）假设存在这样的点C，使得△ABC是正三角形，由（Ⅰ）得AB的中点坐标M（）．先确定AB的斜率必存在，再利用CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，确定C（），利用，从而可得点C的坐标，即可得出结论．
解答：（Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（），直线AB的方程为．
由得y²-2ty-1=0，则y₁+y₂=2t，y₁y₂=-1．
于是．…3
∵，
于是，
所以∠ACB不可能是钝角．…2
（Ⅱ）解：假设存在这样的点C，使得△ABC是正三角形，由（Ⅰ）得AB的中点坐标M（）．
①若直线AB的斜率不存在，这时t=0，A（），B（），点C的坐标只可能是（）．
由得，这是不可能的，于是AB的斜率必存在．…3
②由CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，即，得m=t³+2t，从而C（）．
，
．
由得，解之得．
此时点C（）．故存在点C（），使得△ABC是正三角形．…6
点评：本题考查抛物线的应用，考查向量知识，考查存在性问题，解题的关键直线与抛物线的联立，灵活运用韦达定理求解．