Question

已知椭圆 的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线AM的斜率为1时，得出直线AM：y=x+2，代入椭圆方程并化简得：5x²+16x+12=0，解得点M的坐标即可；（2）对于是否过x轴上的一定点问题，可先假设存在，设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得P点的坐标，从而解决问题．
解答：解：（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）
代入椭圆方程并化简得：5x²+16x+12=0，（2分）
解之得，∴．（4分）
（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），
则化简得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．（6分）
∵此方程有一根为-2，∴，（7分）
同理可得．（8分）
由（1）知若存在定点，则此点必为．（9分）
∵，（11分）
同理可计算得．（13分）
∴直线MN过x轴上的一定点．（16分）
点评：本题考查直接法求轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、直线过定点问题．考查推理能力和运算能力．