【题目】如图,已知三棱锥D-ABC中,二面角A-BC-D的大小为90°,且∠BDC=90°,∠ABC=30°,BC=3,.
(1)求证:AC⊥平面BCD;
(2)二面角B-AC-D为45°,且E为线段BC的中点,求直线AE与平面ACD所成的角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1))△ABC中,根据条件利用余弦定理求出AC,根据勾股定理证明垂直即可(2)以C为原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系,求出平面ACD的法向量,利用直线与平面所成角公式计算即可.
(1)△ABC中,由,
解得,从而AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC;又二面角A-BC-D的大小为90°,即平面BCD⊥平面ABC,
而平面BCD∩平面ABC=BC,AC平面ABC,故AC⊥平面BCD;
(2)以C为原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
故平面ABC的法向量=(0,0,1),
设平面ACD的法向量=(1,m,n),由
,易知m=0,
从而=(1,0,n),
,
解得n=±1,结合实际图形,可知n取1时,二面角为135°,应舍去,
所以=(1,0,-1),
易知,B(3,0,0),故
,则
,
设直线AE与平面ACD所成的角为θ,
则,即直线AE与平面ABC所成的角的正弦值为
.
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【题目】已知数列{an}中,a1=1,an+1=,(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式an,
(2)若数列{bn}满足bn=(3n﹣1)an,数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式(﹣1)nλ<Tn对一切n∈N*恒成立,求λ的取值范围.
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【题目】如图,已知是椭圆
的一个顶点,
的短轴是圆
的直径,直线
,
过点P且互相垂直,
交椭圆
于另一点D,
交圆
于A,B两点
Ⅰ
求椭圆
的标准方程;
Ⅱ
求
面积的最大值.
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【题目】已知以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.
(1)求椭圆的方程:
(2)若是椭圆
上的动点,求
的取值范围;
(3)直线:
与椭圆
交于异于椭圆顶点的
,
两点,
为坐标原点,直线
与椭圆
的另一个交点为
点,直线
和直线
的斜率之积为1,直线
与
轴交于点
.若直线
,
的斜率分别为
,
试判断
,是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)若与
交于
两点,点
的极坐标为
,求
的值.
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【题目】在正三角形中,
、
、
分别是
、
、
边上的点,满足
(如图1).将△
沿
折起到
的位置,使二面角
成直二面角,连结
、
(如图2)
(Ⅰ)求证:⊥平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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【题目】已知函数的导函数为
,且对任意的实数
都有
(
是自然对数的底数),且
,若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数,则实数
的取值范围是
A. B.
C.
D.
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