Question

【题目】已知函数f（x）=4cosxsin（x+）-1．

（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；

（2）将y=f（x）图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象．若g（x）在（0，m）内是单调函数，求实数m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）最小正周期为π，减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）．

【解析】

（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得f（x）的最小正周期和单调递减区间．

（2）利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得m的最大值．

（1）依题意，得函数f（x）＝4cosxsin（x）﹣1＝4cosx（sinxcosx）﹣1sin2x+2cos2x﹣1

＝2（sin2xcos2x）＝2sin（2x）．

它的最小正周期为π．

令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，

故函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z．

（2）将y＝f（x）图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝g（x）＝2sin（2x）的图象．

若g（x）在（0，m）内是单调函数，则g（x）在（0，m）内是单调增函数，

∴2m，求得m，故m的最大值为．