Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的上顶点为P，左右焦点为F₁，F₂，左右顶点为D，E，过原点O不垂直x轴的直线与椭圆C交于A，B两点．

（Ⅰ）若椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，F₂（1，0），
①求椭圆的方程；
②连接AE，BE与右准线交于点N，M，则在x轴上是否存在定点T，使TM⊥TN，若存在，求出点T的坐标，若不存在说明理由．
（Ⅱ）若直线PF₁∥AB，且PF₁与椭圆交于点Q，$\frac{AB}{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，求椭圆离心率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
②设直线AB：y=kx，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，再由三点共线的知识：斜率相等，可得M，N的坐标，设T（t，0），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得T的坐标；
（Ⅱ）设AB：y=$\frac{b}{c}$x，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，求得AB的距离，再由由PQ的方程：y=$\frac{b}{c}$x+b，代入椭圆方程，求得Q的坐标，求得PQ的距离，再由条件，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）①由题意可得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
可得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
②设直线AB：y=kx，代入椭圆方程可得，x=±$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，
即有A（$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），B（-$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），
椭圆的右准线方程为x=4，设M（4，y₁），N（4，y₂），
又E（2，0），由A，E，N共线，可得k_AE=k_NE，
即$\frac{2\sqrt{3}k}{2\sqrt{3}-2\sqrt{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{{y}_{2}}{2}$，解得y₂=$\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3}-\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，
同理由B，E，M共线，可得y₁=$\frac{2\sqrt{3}k}{\sqrt{3}+\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，
在x轴上假设存在定点T，使TM⊥TN．
设T（t，0），$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=（4-t）²+y₁y₂═（4-t）²+$\frac{12{k}^{2}}{3-3-4{k}^{2}}$=0，
解得t=4±$\sqrt{3}$，
则在x轴上存在定点T（4±$\sqrt{3}$，0），使TM⊥TN．
（Ⅱ）若直线PF₁∥AB，即有k_AB=$\frac{b}{c}$，
设AB：y=$\frac{b}{c}$x，代入椭圆方程b²x²+a²y²=a²b²，可得，
x=±$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，即有A（$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$），B（-$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，-$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$），
则|AB|=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$；
由PQ的方程：y=$\frac{b}{c}$x+b，代入椭圆方程，可得x=-$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
即有Q（-$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{c}^{2}+{a}^{2}}$），又P（0，b），
可得|PQ|=$\frac{2{a}^{3}}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
由$\frac{AB}{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得2$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
化简可得a=2c，即有离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求得交点，考查向量的数量积的坐标表示和直线方程的运用，属于中档题．