精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(A类)定义在R上的函数y=f(x),对任意的a,b∈R,满足f(a+b)=f(a)•f(b),当x>0时,有f(x)>1,其中f(1)=2
(1)求f(0)、f(-1)的值;  (2)证明y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)求不等式f(x+1)<4的解集.
(B类)已知定义在R上的奇函数f(x)= 
-2x+b
2x+1+a

(1)求a,b的值;
(2)若不等式-m2+(k+2)m-
3
2
<f(x)<m2+2km+k+
5
2
对一切实数x及m恒成立,求实数k的取值范围;
(3)定义:若存在一个非零常数T,使得f(x+T)=f(x)对定义域中的任何实数x都恒成立,那么,我们把f(x)叫以T为周期的周期函数,它特别有性质:对定义域中的任意x,f(x+nT)=f(x),(n∈Z).若函数g(x0是定义在R上的周期为2的奇函数,且当x∈(-1,1)时,g(x)=f(x)-x,求方程g(x)=0的所有解.
分析:A类
(1)令a=1,b=0,则有:f(1)=f(1)•f(0),结合已知得出f(0)=1.再令a=1,b=-1 可以得出f(-1)=
1
2

(2)任意x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)•f(x1)-f(x1)=f(x1)(f(x2-x1)-1)由已知,可以判断出差为正数.
 (3)考虑利用函数的单调性求解,注意x+1的取值范围,进行分类讨论.
B类         
(1)由f(0)=0,得b=1,f(-1)=-f(1),得a=2 由f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=-
1
2
+
1
2x+1
 得出-
1
2 
<f(x)<
1
2 
  转化为
-m2+(k+2)m-
3
2
≤-
1
2
m2+2km+k+
5
2
1
2
   对m∈R恒成立,进行解决.        
(3)利用函数单调性在(-1,1)内,g(x)=0有唯一的根x=0,再由g(-1)=g(-1+2)得-g(1)=g(1),g(1)=0,结合周期性求出所有的解.
解答:A类
解:(1)在f(a+b)=f(a)•f(b)中
令a=1,b=0,则有:f(1)=f(1)•f(0)
因为当x>0时,有f(x)>1,所以f(1)>1,∴f(0)=1                  …(2分)
令a=1,b=-1,则f(0)=f(1)•f(-1),得出f(-1)=
f(0)
f(1)
=
1
2
                        …(4分)
(2)任意x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1
=f(x2-x1)•f(x1)-f(x1)=f(x1)(f(x2-x1)-1).
由于0<x1<x2,所以f(x1)>1,f(x2-x1)-1>0
所以f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1).
y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.…(8分)
(3)∵f(1)=2
∴f(2)=f(1)•f(1)=4
由已知,当x<0时,
f(0)=f(x)f(-x)=1,得出f(x)=
1
f(-x)
<1.…(10分)
故①.当x+1<0即x<-1时,f(x+1)<1<4不等式恒成立.                  …(11分)
②.当x+1=0即x=-1时,f(x+1)=1<4                  …(12分)
③.当x+1>0即x>-1时,由(2)知道须x+1<2,解得-1<x<1                                    …(13分)
综上:不等式f(x+1)<4的解集为{x|x<1}.…(14分)
B类:
解:(1)由f(0)=0,得b=1,f(-1)=-f(1),得a=2    
(2)f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=-
1
2
+
1
2x+1
 得出-
1
2 
<f(x)<
1
2 
          …(5分)
-m2+(k+2)m-
3
2
≤-
1
2
m2+2km+k+
5
2
1
2
   对m∈R恒成立,即
m2-(k+2)m+1≥ 0
m2+2km+k+2≥0
   对m∈R恒成立                  …(7分)
△=(k+2)2-4≤0
△=(2k)2-4(k+2)≤0
                                 …(9分)
解得-1≤k≤0                                     …(10分)
(3)x∈(-1,1),而g(x)=f(x)-x=-
1
2
+
1
2x+1
-x在(-1,1)内单减.
且g(0)=0,故在(-1,1)内,g(x)=0有唯一的根x=0,又g(x)周期为2,对k∈Z,
 g(x+2k)=g(x),所以在(2k-1,2k+1)内有唯一根x=2k
由g(-1)=g(-1+2)得-g(1)=g(1),g(1)=0
应有g(2k+1)=0,即还有解x=2k+1,
综上:g(x)=0 的所有解为x=k(k∈Z)
点评:A类 本题考查抽象函数、单调性的判定、及单调性的应用,考查转化、分类讨论的思想方法.牢牢把握所给的关系式,对式子中的字母准确灵活的赋值,变形构造是解决抽象函数问题常用的思路.
B类 考查了函数的奇偶性、单调性、周期性,不等式恒成立问题,以及方程思想,考查计算、转化能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(A类)已知函数g(x)=(a+1)x-2+1(a>0)的图象恒过定点A,且点A又在函数f(x)=log
3
(x+a)的图象上.
(1)求实数a的值;                (2)解不等式f(x)<log
3
a;
(3)|g(x+2)-2|=2b有两个不等实根时,求b的取值范围.
(B类)设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)求f(0)的值;     (2)求证:f(x)为奇函数;
(3)若函数f(x)是R上的增函数,已知f(1)=1,且f(2a)>f(a-1)+2,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(A类)已知函数g(x)=(a+1)x-2+1(a>0)的图象恒过定点A,且点A又在函数f(x)=数学公式(x+a)的图象上.
(1)求实数a的值;        (2)解不等式f(x)<数学公式a;
(3)|g(x+2)-2|=2b有两个不等实根时,求b的取值范围.
(B类)设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)求f(0)的值;   (2)求证:f(x)为奇函数;
(3)若函数f(x)是R上的增函数,已知f(1)=1,且f(2a)>f(a-1)+2,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(A类)已知函数g(x)=(a+1)x-2+1(a>0)的图象恒过定点A,且点A又在函数f(x)=log
3
(x+a)的图象上.
(1)求实数a的值;                (2)解不等式f(x)<log
3
a;
(3)|g(x+2)-2|=2b有两个不等实根时,求b的取值范围.
(B类)设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)求f(0)的值;     (2)求证:f(x)为奇函数;
(3)若函数f(x)是R上的增函数,已知f(1)=1,且f(2a)>f(a-1)+2,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(A类)定义在R上的函数y=f(x),对任意的a,b∈R,满足f(a+b)=f(a)•f(b),当x>0时,有f(x)>1,其中f(1)=2
(1)求f(0)、f(-1)的值;  (2)证明y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)求不等式f(x+1)<4的解集.
(B类)已知定义在R上的奇函数f(x)= 
-2x+b
2x+1+a

(1)求a,b的值;
(2)若不等式-m2+(k+2)m-
3
2
<f(x)<m2+2km+k+
5
2
对一切实数x及m恒成立,求实数k的取值范围;
(3)定义:若存在一个非零常数T,使得f(x+T)=f(x)对定义域中的任何实数x都恒成立,那么,我们把f(x)叫以T为周期的周期函数,它特别有性质:对定义域中的任意x,f(x+nT)=f(x),(n∈Z).若函数g(x0是定义在R上的周期为2的奇函数,且当x∈(-1,1)时,g(x)=f(x)-x,求方程g(x)=0的所有解.

查看答案和解析>>

同步练习册答案