Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点C′，且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
（1）求证：BC′⊥面ADC′；
（2）求二面角A-BC′-D的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据已知的线面垂直，可以得到DA⊥C′O，再根据DA⊥AB，即可证明DA⊥面C′AB，从而证得BC′⊥DA，利用直线与平面垂直的判定定理，即可证得BC′⊥面ADC′；
（2）根据（1）的结论，结合二面角的平面角的定义，即可确定∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角，在直角三角形DAC′中，即可求得二面角A-BC′-D的正弦值．

解答：解：（1）由题意可得，C′O⊥平面ABD，
∵DA?平面ABD，
∴C′O⊥DA，
由题意可知，∠DAB=90°，即DA⊥AB，且C′O∩AB=O，
∴DA⊥平面C′AB，又BC′?平面C′AB，
∴BC′⊥DA，
又∠BC′D=∠BCD=90°，即BC′⊥C′D，且C′D∩DA=D，
∴BC′⊥平面ADC′；
（2）根据（1）可知，BC′⊥平面ADC′，
∵AC′?平面ADC′，DC′?平面ADC′，
∴BC′⊥AC′，BC′⊥DC′，
∴∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角，
又由（1）知，DA⊥平面C′AB，
∵AC′?平面C′AB，
∴DA⊥AC′，即△DAC′为直角三角形，
在直角三角形DAC′中，DA=BC=3，DC′=DC=AB=3

3

，
∴sin∠AC′D=

DA

DC′

=

3

3 3

=

3

3

，
故二面角A-BC′-D的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查线面关系，直线与平面垂直的判定定理以及二面角的求解等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，求解二面角的问题，关键在于如何正确的找到二面角的平面角．属于中档题．