Question

已知函数f(x)＝e^x＋ax，g(x)＝e^xlnx.(e≈2.718 28…)．

(1)设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋(e－1)y＝1垂直，求a的值；

(2)若对于任意实数x≥0，f(x)>0恒成立，试确定实数a的取值范围；

(3)当a＝－1时，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析　(1)由题知，f′(x)＝e^x＋a.

因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为e＋a，

又直线x＋(e－1)y＝1的斜率为，

∴(e＋a)＝－1.∴a＝－1.

(2)∵当x≥0时，f(x)＝e^x＋ax>0恒成立，

∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝e^x＋ax>0恒成立．

若x>0，f(x)＝e^x＋ax>0恒成立，

即当x>0时，a>－恒成立．

设Q(x)＝－.Q′(x)＝－＝.

当x∈(0,1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，

当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．

∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．

Q(x)_max＝Q(1)＝－e.

∴要使x≥0时，f(x)>0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．

(3)依题意，曲线C的方程为y＝e^xlnx－e^x＋x.

令M(x)＝e^xlnx－e^x＋x，

∴M′(x)＝＋e^xlnx－e^x＋1＝(＋lnx－1)e^x＋1.

设h(x)＝＋lnx－1，则h′(x)＝－＋＝.

当x∈[1，e]时，h′(x)≥0.

故h(x)在[1，e]上为增函数，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为h(1)＝ln1＝0.

所以h(x)＝＋lnx－1≥0.

当x₀∈[1，e]时，.

∴.

曲线y＝e^xlnx－e^x＋x在点x＝x₀处的切线与y轴垂直等价于方程M′(x₀)＝0在x∈[1，e]上有实数解．

而M′(x₀)>0，即方程M′(x₀)＝0无实数解．

故不存在实数x₀∈[1，e]，使曲线y＝M(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直．