Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0且bc≠0).

(1)若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解析式；

(2)令g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜l≤2,试确定c-b的符号.

Answer 1

解：(1)由已知|f(1)|=|f(-1)|,

    有|a+b+c|=|a-b+c|,

    (a+b+c)²=(a-b+c)²,可得4b(a+c)=0.

    ∵bc≠0,∴b≠0.

    ∴a+c=0.

    又由a＞0,有c＜0,

    ∵|c|=1,于是c=-1,则a=1,|b|=1.

    ∴f(x)=x²±x-1.

    (2)g(x)=2ax+b，由g(1)=0,有2a+b=0,b＜0.

    设方程f(x)=0的两根为x₁、x₂,

    ∴x₁+x₂=-=2,x₁·x₂=.

    则|x₁-x₂|==.

    由已知0＜|x₁-x₂|≤2,

    ∴0≤＜1.

    又∵a＞0,bc≠0,∴c＞0.

    ∴c-b＞0.