Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
（1）判断函数f（x）=x²-2x+2，x∈[0，2]是否是有界函数，请写出详细判断过程；
（2）试证明：设M＞0，N＞0，若f（x），g（x）在D上分别以M，N为上界．求证：函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界；
（3）若在[0．+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=x²-2x+2在[0，1]上递减，在[1，2]上递增
∴当x∈[0，2]时，1≤f（x）≤2
∴当x∈[0，2]时，|f（x）|≤2
∴函数f（x）=x²-2x+2，x∈[0，2]是有界函数…（4分）
（2）证明：∵f（x），g（x）在D上分别以M，N为上界，∴-M≤f（x）≤M，∴-N≤g（x）≤N
∴-（M+N）≤f（x）+g（x）≤M+N，即|f（x）+g（x）|≤M+N
∴函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界；…（8分）
（3）解：∵在[0．+∞）上是以3为上界的有界函数
∴在[0．+∞）上恒成立，
记，∴-3≤1+a•t+t²≤3在t∈（0，1]时恒成立．
∴在t∈（0，1]时恒成立．
函数在（0，1]上单调递减，
∴a≤1；在t∈（0，1]上单调递增，∴a≥-5．
∴实数a的取值范围是-5≤a≤1…（13分）
分析：（1先判断函数在[0，2]上的单调性，从而可得函数的值域，即可得到结论；
（2）利用f（x），g（x）在D上分别以M，N为上界，可得-M≤f（x）≤M，-N≤g（x）≤N，从而可得函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界；
（3）利用定义可得在[0．+∞）上恒成立，换元，再分离参数求最值，即可得到结论．
点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．