【题目】已知函数,函数在点处的切线斜率为0.
(1)试用含有的式子表示,并讨论的单调性;
(2)对于函数图象上的不同两点,,如果在函数图象上存在点,使得在点处的切线,则称存在“跟随切线”.特别地,当时,又称存在“中值跟随切线”.试问:函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”,若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1),单调性见解析;(2)不存在,理由见解析
【解析】
(1)由题意得,即可得;求出函数的导数,再根据、、、分类讨论,分别求出、的解集即可得解;
(2)假设满足条件的、存在,不妨设,且,由题意得可得,令(),构造函数(),求导后证明即可得解.
(1)由题可得函数的定义域为且,
由,整理得.
.
(ⅰ)当时,易知,,时.
故在上单调递增,在上单调递减.
(ⅱ)当时,令,解得或,则
①当,即时,在上恒成立,则在上递增.
②当,即时,当时,;
当时,.
所以在上单调递增,单调递减,单调递增.
③当,即时,当时,;当时,.
所以在上单调递增,单调递减,单调递增.
综上,当时,在上单调递增,在单调递减.
当时,在及上单调递增;在上单调递减.
当时,在上递增.
当时,在及上单调递增;在上递减.
(2)满足条件的、不存在,理由如下:
假设满足条件的、存在,不妨设,且,
则,
又,
由题可知,整理可得:,
令(),构造函数().
则,
所以在上单调递增,从而,
所以方程无解,即无解.
综上,满足条件的A、B不存在.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,对于点,若函数满足:,都有,就称这个函数是点A的“限定函数”.以下函数:①,②,③,④,其中是原点O的“限定函数”的序号是______.已知点在函数的图象上,若函数是点A的“限定函数”,则实数a的取值范围是______.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的短轴两端点与左焦点围成的三角形面积为3,短轴两端点与长轴一端点围成的三角形面积为2,设椭圆的左、右顶点分别为是椭圆上除两点外一动点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的左焦点作平行于直线(是坐标原点)的直线,与曲线交于两点,点关于原点的对称点为,求证:成等比数列.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,点D在椭圆C上, 的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过圆上任意一点P作圆E的切线l,若l与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,求证:为定值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是椭圆与抛物线的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点.
(1)求椭圆及抛物线的方程;
(2)设过且互相垂直的两动直线,与椭圆交于两点,与抛物线交于两点,求四边形面积的最小值
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有:( )
A.∥平面B.平面∥平面
C.直线与直线所成角的大小为D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com