Question

如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒末，它从原点运动到（0，1），接着它按如图所示的x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒移动一个单位，那么第2008秒末这个粒子所处的位置的坐标为

（16，44）

．

Answer 1

分析：该题显然是数列问题．设粒子运动到A₁，A₂，…A_n时所用的间分别为a₁，a₂，…a_n，则a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，由a_n-a_n-1=2n，则a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，a₄-a₃=2×4，…，a_n-a_n-1=2n，以上相加得到a_n-a₁的值，进而求得a_n来解．

解答：解：如右图所示，
设粒子运动到A₁，A₂，…，A_n时所用的间分别为a₁，a₂，…，a_n，
则a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，a_n-a_n-1=2n，
将a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，a₄-a₃=2×4，…，a_n-a_n-1=2n相加得：
a_n-a₁=2（2+3+4+…+n）=n²+n-2，
∴a_n=n（n+1）．
44×45=1980，故运动了1980秒时它到点A₄₄（44，44）；又由运动规律知：A₁，A₂，…，A_n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．故达到A₄₄（44，44）时向左运动28秒到达点（16，44），即运动了2008秒．所求点应为（16，44）．
故答案为：（16，44）

点评：分析粒子在第一象限的运动规律得到数列{a_n}通项的递推关系式a_n-a_n-1=2n是本题的突破口，对运动规律的探索知：A₁，A₂，…A_n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．