Question

已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
（2）数列{a_n}满足a1=f(0)且f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N+)，
①求通项公式a_n的表达式；
②令bn=(

1

2

)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，试比较Sn与

4

3

Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

＞

12

35

(log a+1x-log ax+1)对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令y=0得f（x）[1-f（0）]=0，利用条件：当x＜0时，f（x）＞1，可得1-f（0）=0，取f（x）=(

1

2

)x即可满足条件．
（2））①由递推关系知f（a_n+1）•f（-2-a_n）=1，即f（a_n+1-2-a_n）=f（0），从而a_n+1-a_n=2（n∈N^*）．利用等差数列的通项公式即可得出．
②利用等比数列的前n项和公式即可得出S_n，再利用“裂项求和”即可得出T_n，再利用二项式定理进行放缩即可证明；
③令F（n）=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

，通过作差得出F（n）的单调性，计算出F（2），再利用对数函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）令y=0得f（x）[1-f（0）]=0，∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（0）=1，
适合题意的f（x）的一个解析式是f（x）=(

1

2

)x．
（2）①由递推关系知f（a_n+1）•f（-2-a_n）=1，即f（a_n+1-2-a_n）=f（0），
从而a_n+1-a_n=2（n∈N^*）．
∴数列{a_n}是公差为2的等差数列．
又a₁=1，∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
②S_n=

1

2

+(

1

2

)3+…+(

1

2

)2n-1=

1 2 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

2

3

(1-

1

4n

)，
Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…

1

(2n-1)(2n+1)

=Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

（1-

1

2n+1

），
∴

4

3

Tn=

2

3

(1-

1

2n+1

)．
∵4n=(1+3)n＞1+3n＞2n+1，从而Sn＞

4

3

Tn．
③令F（n）=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

，则F（n+1）-F（n）=

1

a2n+1

+

1

a2n+2

-

1

an+1

=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

＞0，
故当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2）=

1

a3

+

1

a4

=

12

35

，
由题意得lo

g

x a+1

-lo

g

x a

＜0，
∴

lgx

lg(a+1)

＜

lgx

lga

，又a＞1，可知x＞1．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、“裂项求和”、利用二项式定理进行放缩、利用“作差法”比较两个数的大小、对数函数的单调性等是解题的关键．