Question

求下列函数的解析式：
（1）已知f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x+1）；
（2）设f（x）满足f（x）-2f（

1

x

）=x，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）利用换元法令t=

x

+1，求出f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，令x+1=t，得f（x+1）
（2）把x换成

1

x

，得f(

1

x

)-2f(x)=

1

x

，与f(x)-2f(

1

x

)=x联立方程组，解得f（x）．

解答：解：（1）令t=

x

+1，则t≥1，x=（t-1）²
∵f(

x

+1)=x+2

x

∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1
∴f（x）=x²-1（x≥1）
∴f（x+1）=（x+）²-1=x²+2x（x≥0）
（2）∵f(x)-2f(

1

x

)=x    ①
显然x≠0
∴把x换成

1

x

，得：f(

1

x

)-2f(x)=

1

x

    ②
解①②联立的方程组，得
f(x)=-

x

3

-

2

3x

点评：本题主要考查了函数的解析式及常见的求法，用到了换元的方法和方程的思想．