Question

【题目】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=．

【解析】

试题（I）由已知可得：，解得即可得出；

（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．与椭圆方程联立化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：线段AB的中点D，可得直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．与椭圆方程联立，解得=，x3=﹣3ky3．利用四边形MF1NF2为矩形，可得=0，解出即可．

解：（I）由已知可得：，

解得a2=6，b2=2，

∴椭圆C的方程为；

（II）由题意可知直线l的斜率存在，

设直线l方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．

联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，

∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，

∴线段AB的中点D，

∴直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．

联立，解得=，x3=﹣3ky3．

∵四边形MF1NF2为矩形，

∴=0，

∴（x3﹣2，y3）（﹣x3﹣2，﹣y3）=0，

∴=0，

∴=0，解得k=，

故直线方程为y=．