Question

某工厂有120名工人，其年龄都在20～60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]分组，其频率分布直方图如右图所示，工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示，假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．

年龄分组	A项培训成绩优秀人数	B项培训成绩优秀人数
[20，30）	30	18
[30，40）	36	24
[40，50）	12	9
[50，60]	4	3

（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全厂工人的平均年龄；
（2）随机从年龄段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意及频率分布直方图可知：各年龄段的人数20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的分别为：0.035×10×120=42，0.040×10×120=48，0.015×10×120=18，0.01×10×120=12，利用分层抽样方法得：每一个年龄段内应抽的人数分别为：

40

120

×42=14，

40

120

×48=16，

40

120

×18=6，

40

120

×12=4，有所给的频率分布直方图可知全厂工人的平均年龄为：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35即为所求；
（2）有表可知：从[20，30]年龄段抽一人，该人是A项目培训结业考试成绩优秀的概率为：

30

42

=

5

7

，该人B项目培训结业考试成绩优秀的概率为

18

42

=

3

7

：所以该年龄段抽取的一人两个项目都优秀的概率为：

5

7

×

3

7

=

15

49

，从年龄段[30，40]抽一人，该人A项目结业考试成绩优秀的概率为：

36

48

=

3

4

，该人B项目培训结业考试成绩优秀的概率为：

24

48

=

1

2

，所以在该年龄段内任抽一名两个项目都优秀的概率为：

3

4

×

1

2

=

3

8

，由题意随机从年龄段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X的可能只为0，1，2，利用分布列定义及期望定义即可求得．

解答：解：（1）由题意及频率分布直方图可知：
各年龄段的人数20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的分别为：0.035×10×120=42，0.040×10×120=48，0.015×10×120=18，0.01×10×120=12，
若要从120人中抽取40人则利用分层抽样可知每一个年龄段内应抽的人数分别为：

40

120

×42=14，

40

120

×48=16，

40

120

×18=6，

40

120

×12=4，
所以每一段在抽取的40个人的样本中个年龄段应分别抽取的人数分别为：14，16，6，4；
有所给的频率分布直方图可知全厂工人的平均年龄为：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35，
有图估计全场工人的平均年龄为35岁；
（2）因为年龄段在[20，30）和[30，40）中的人数分别为：42人，48人，若随机从年龄段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，则概率分别为为：

1

42

，

1

48

，
随机从年龄段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，有表可知：从[20，30]年龄段抽一人，该人是A项目培训结业考试成绩优秀的概率为：

30

42

=

5

7

，该人B项目培训结业考试成绩优秀的概率为

18

42

=

3

7

，所以该年龄段抽取的一人两个项目都优秀的概率为：

5

7

×

3

7

=

15

49

；从年龄段[30，40]抽一人，该人A项目结业考试成绩优秀的概率为：

36

48

=

3

4

，该人B项目培训结业考试成绩优秀的概率为：

24

48

=

1

2

，所以在该年龄段内任抽一名两个项目都优秀的概率为：

3

4

×

1

2

=

3

8

，
由题意随机从年龄段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X的可能只为0，1，2，
每一个值下对应的概率为：P（X=0）=(1-

15

49

)(1-

3

8

)=

85

196

                        P（X=1）=

15

49

×(1-

3

8

)+(1-

15

49

)×

3

8

=

177

392

                         P（X=2）=

15

49

×

3

8

=

45

392

，
所以X的分布列为：

利用随机变量的期望公式得：EX=0×

85

196

+1×

177

392

+2×

45

392

=

267

392

．

点评：此题考查了平率分布直方图，分层抽样，有直方图估计平均值，独立事件都发生的概率公式，随机变量的分布列，期望，还考查了学生的理解与计算能力．