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    数列{an}满足：a1=1，且对每个n∈N*，an，an+1是方程x2-bnx+(
    1
    3
    )n=0    的两根，则b2010=
    2×(
    1
    3
    )1005
    2×(
    1
    3
    )1005
    ．
    分析：利用根与系数关系得到数列{an}的递推式及bn与an的关系，由递推式得到数列{an}的奇数项和偶数项均构成等比数列，求出a2010和a2011，则b2010可求．
    解答：解：∵an，an+1是方程x2-bnx+(
    1
    3
    )n=0    的两根，
    ∴an+an+1=bn，anan+1=(
    1
    3
    )n    ①．
    则an-1an=(
    1
    3
    )n-1    （n≥2）②．
    因为an≠0（由第①得）
    ①÷②得
    an+1
    an-1
    =
    1
    3
    （n≥2）．
    ∴数列{an}的奇数项是首项为1，公比为
    1
    3
    的等比数列，
    偶数项是首项为
    1
    3
    ，公比为
    1
    3
    的等比数列．
    则a2010=
    1
    3
    ×(
    1
    3
    )1004=(
    1
    3
    )1005    ，
    a2011=1×(
    1
    3
    )1005=(
    1
    3
    )1005    ．
    ∴b2010=a2010+a2011=2×(
    1
    3
    )1005    ．
    故答案为2×(
    1
    3
    )1005    ．
    点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）设a=
    1
    2
    ，c=
    1
    2
    ，bn=n(1-an)(n∈N*)    ，求数列{bn}的前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    数列{an}满足a1=a，an+1=
    an+3
    2
    ，n=1，2，3，…．
    （Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
    （Ⅱ）当a=
    1
    2
    时，证明：an＜
    3
    2
    ；
    （Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•天津模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
    （1）求证：a≠1时数列{an-1}是等比数列，并求an；
    （2）设a=
    1
    2
    c=
    1
    2
    ，bn=n(1-an)(n∈N*)    ，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （3）设a=
    3
    4
    ，c=-
    1
    4
    ，cn=
    3+an
    2-an
    (n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)    ，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
    5
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
    an-1-4 (an-1＞4)
    5-an-1 (an-1≤4)

    （I）当a=200时，填写下列表格；
    N 2 3 51 200
    an
    （II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
    （III）令b n=
    an
    (-2)n
    ，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
    5
    3
    时，T n＜
    5-3a
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
    x
    bx+1
    （x＞0），数列{an}满足a1=a，
    1
    an+1
    =f(
    1
    an
    )    （n∈N*）
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
    （3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．

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