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已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:

①x1、x2、x1-x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=

②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);

③当0<x<2a时,f(x)<0.

(1)判断f(x1-x2)与f(x2-x1)之间的关系,并推断函数f(x)的奇偶性;

(2)判断函数f(x)在(0,2a)上的单调性,并证明;

(3)当函数f(x)的定义域为(-4a,0)∪(0,4a)时,

①求f(2a)的值;

②求不等式f(x-4)<0的解集.

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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a

(I)如果对任意x∈[1,2],f′(x)>a2恒成立,求实数a的取值范围;
(II)设函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2判断下列三个代数式:①x1+x2+a,②
x
2
1
+
x
2
2
+a2
,③
x
3
1
+
x
3
2
+a3

中有几个为定值?并且是定值请求出;若不是定值,请把不是定值的表示为函数g(a),并求出g(a)的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

问题1:已知函数f(x)=
x
1+x
,则f(
1
10
)+f(
1
9
)+
+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+
…+f(9)+f(10)=
19
2
19
2

我们若把每一个函数值计算出,再求和,对函数值个数较少时是常用方法,但函数值个数较多时,运算就较繁锁.观察和式,我们发现f(
1
2
)+f(2)
、…、f(
1
9
)+f(9)
f(
1
10
)+f(10)
可一般表示为f(
1
x
)+f(x)
=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1
为定值,有此规律从而很方便求和,请求出上述结果,并用此方法求解下面问题:
问题2:已知函数f(x)=
1
2x+
2
,求f(-2007)+f(-2006)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2007)+f(2008)的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)图象上的两点,横坐标为
1
2
的点P是M,N的中点.
(1)求证:y1+y2为定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
(n∈N*,n≥2),求
lim
n→∞
4Sn-9Sn
4Sn+1+9Sn+1
的值;
(3)在(2)的条件下,若an=
1
6
,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn为数列{an}的前n项和,若Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a)

(1)当f(x)的定义域为[a+
1
2
,a+1]
时,求f(x)的值域;
(2)试问对定义域内的任意x,f(2a-x)+f(x)的值是否为一个定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由;
(3)设函数g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,若
1
2
≤a≤
3
2
,求g(x)的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•嘉定区一模)(理)已知函数f(x)=log2
2
x
1-x
,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是f(x)图象上两点.
(1)若x1+x2=1,求证:y1+y2为定值;
(2)设Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求Tn关于n的解析式;
(3)对(2)中的Tn,设数列{an}满足a1=2,当n≥2时,an=4Tn+2,问是否存在角a,使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)
(1-
1
an
)<
sinα
2n+1
对一切n∈N*都成立?若存在,求出角α的取值范围;若不存在,请说明理由.

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