Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求证：AG∥平面PEC；
（2）求AE的长；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先证明AG⊥平面PCD，作EF⊥PC于F，再证EF⊥平面PCD，可得EF∥AG．在应用直线和平面平行的判定定理证得 AG∥平面PEC．
（2）先证明四边形AEFG为平行四边形，AE=GF，求得PG=

9

5

，再由 

GF

CD

=

PG

PD

，求得GF的值，可得AE的值．
（3）过E作EO⊥AC于点O，证得∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角． 求出EO=AE•sin45°的值，又EF=AG=

12

5

，由sin∠EFO=

EO

EF

=

18 2

25

×

5

12

，运算求得结果．

解答：解：（1）证明：∵正方形ABCD中，CD⊥AD，由PA⊥平面ABCD可得CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG．
又PD⊥AG∴AG⊥平面PCD．  …（2分）
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD，∴EF⊥平面PCD，∴EF∥AG．
又AG不在面PEC内，而EF?面PEC，∴AG∥平面PEC．  …（4分）
（2）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD，∴AE∥平面PCD，∴AE∥GF．
∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF．    …（5分）
∵PA=3，AB=4，∴PD=5，AG=

12

5

．
又PA²=PG•PD，∴PG=

9

5

． …（7分）
又

GF

CD

=

PG

PD

，∴GF=

9 5 ×4

5

=

36

25

，∴AE=

36

25

． …（9分）
（3）过E作EO⊥AC于点O，易知EO⊥平面PAC．
又EF⊥PC，∴OF⊥PC，∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角． …（11分）
EO=AE•sin45°=

36

25

•

2

2

=

18 2

25

，又EF=AG=

12

5

，
∴sin∠EFO=

EO

EF

=

18 2

25

×

5

12

=

3 2

10

．     …（14分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求线段的长度以及二面角的平面角的大小的方法，属于中档题．