Question

22.设直线l与椭圆+=1相交于A、B两点,l又与双曲线x²－y²=1相交于C、D两点,C、D三等分线段AB求直线l的方程.

Answer 1

22. 本小题主要考查直线、椭圆、双曲线及定比分点等知识和思维能力、运算能力.

解法一：首先讨论l不与x轴垂直时的情况,设直线l的方程为y=kx+b,如图所示,l与椭圆、双曲线的交点为：

A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）、C（x₃,y₃）、D（x₄,y₄），

依题意有=,=3,

由得（16+25k²）x²+50kbx+（25b²－400）=0,     ①

∴x₁+x₂=－.

由得（1－k²）x²－2bkx－（b²+1）=0.                 ②

若k=±1,则l与双曲线最多只有一个交点,不合题意.故k≠±1.

∴x₃+x₄=.

由=x₃－x₁=x₂－x₄x₁+x₂=x₃+x₄.

－

=bk=0k=0或b=0.

（1）当k=0时,由①得x_1、2=±、由②得x_3、4=±.

由=3x₂－x₁=3（x₄－x₃）.

即=6

b=±.

故l的方程为y=±.

（2）当b=0时,由①得x_1、2=±,

由②得x_3、4=±.

由=3x₂－x₁=3（x₄－x₃）.即=

k=±.

故l的方程为y=±x.

再讨论l与x轴垂直的情况.

设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得

y_1、2=±.　y_3、4=±.

由||=3|||y₂－y₁|=3|y₄－y₃|.

即=6c=±.

故l的方程为x=±.

综上所述,直线l的方程是：y=±、y=±x和x=±.

解法二：设l与椭圆、双曲线的交点为：

A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)、D(x₄,y₄),

则有

由i的两个式子相减及j的两个式子相减，得：

因C、D是AB的三等分点，

故CD的中点（x₀,y₀）与AB的中点重合，且.

于是x₀==,y₀==,

x₂－x₁=3(x₄－x₃),

y₂－y₁=3(y₄－y₃).

因此

若x₀y₀≠0,则x₂=x₁x₄=x₃y₄=y₃y₂=y₁.

因A、B、C、D互异，故x_i≠x_j,y_i≠y_j,这里i,j=1,2,3,4且i≠j.

①÷②得16=－25,矛盾.

所以x₀y₀=0.

（1）当x₀＝0，y₀≠0时，由②得y₄=y₃≠0，这时l平行x轴.

设l的方程为y=b,分别代入椭圆、双曲线方程得：

x_1、2＝±,x_3、4＝±.

∵x₂－x₁=3(x₄－x₃)=6b=±.

故l的方程为：y=±.

（2）当y₀=0，x₀≠0时，由②得x₄=x₃≠0，这时l平行y轴.

设l的方程为x=c，分别代入椭圆、双曲线方程得：

y_1、2＝±，y_3、4=±.

∵y₂－y₁=3(y₄－y₃)=6c=±.

故l的方程为：x=±.（3）当x₀＝0，y₀=0时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直.

设l的方程为y=kx，分别代入椭圆、双曲线方程得：

x_1、2=±,　x_3、4=±.

∵x₂－x₁=3(x₄－x₃)k=±.

故l的方程为：y=±x.

综上所述，直线l的方程是：y=±x、y=±和x=±.