Question

给出下列四个结论：
①函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=

1

2

+

1

2x-1

(x≠0)是奇函数；
③函数y=sin（-2x）在区间[

π

4

，

3π

4

]上是减函数；
④函数y=cos|x|是周期函数；
⑤对于命题p：?x∈R，使得x²+x+1＜0，则?p：?x∈R，均有x²+x+1≥0．（其中“?”表示“存在”，“?”表示“任意”）．
其中错误结论的序号是

③

．（填写你认为错误的所有结论序号）

Answer 1

分析：对各个选项依次加以判断：对于①，函数y=a^x（a＞0且a≠1）的定义域与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域都是R，命题正确；对于②，令函数f(x)=

1

2

+

1

2x-1

(x≠0)，可以证明得f(-x)=

2 -x+1

2 -x-1

=

2x+1

1-2x

=-f（x），故原函数是奇函数；对于③，函数y=sin（-2x）=-sin（2x）在区间[

π

4

，

3π

4

]上是增函数，命题错误；对于④，由于余弦函数是偶函数，故函数y=cos|x|=cosx，函数是周期函数最小正同期为2π，命题正确；对于⑤，这是一个含有量词的命题，否定时要先改下量词，再否定结论，由此可得命题⑤正确．说明只有③是错误的．

解答：解：对于①，函数y=a^x（a＞0且a≠1）的定义域为R，
函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域也是R，
故两个函数定义域相同，命题正确；
对于②，令函数f(x)=

1

2

+

1

2x-1

(x≠0)，
则f(x)=

1

2

+

1

2x-1

=

2 x+1

2 x-1

，
而f(-x)=

2 -x+1

2 -x-1

=

2x+1

1-2x

=-f（x），故原函数是奇函数；
对于③，函数y=sin（-2x）=-sin（2x）在
区间[

π

4

，

3π

4

]上是增函数，命题错误；
对于④，由于余弦函数是偶函数，故函数y=cos|x|=cosx，
函数是周期函数最小正同期为2π，命题正确；
对于⑤，对于命题p：?x∈R，使得x²+x+1＜0，
这是一个含有量词的命题，否定时要先改下量词，再否定结论
则?p：?x∈R，均有x²+x+1≥0，命题⑤正确．
故答案为：③

点评：本题考查了命题真假的判断，其中包含了函数的奇偶性与单调性，含有量词的命题等等，知识点较多，属于中档题．