Question

7．已知函数f（x）=-x+$\frac{m}{x}$-1（x≠0）．
（1）当m=2时，判断f（x）在（-∞，0）的单调性，并用定义证明．
（2）若对任意x∈（-∞，0），不等式f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=2时，函数f（x）=-x+$\frac{2}{x}$-1在（-∞，0）递减．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）由题意可得m＜x²+x在x＜0恒成立，运用二次函数的最值的求法，可得最小值，进而得到m的范围．

解答 解：（1）当m=2时，函数f（x）=-x+$\frac{2}{x}$-1在（-∞，0）递减．
证明：设x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=（-x₁-1+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（-x₂-1+$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₂-x₁）（1+$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}$），由x₁＜x₂＜0，可得x₂-x₁＞0，
1+$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即有f（x₁）-f（x₂）＞0，
故f（x）在（-∞，0）为减函数；
（2）任意x∈（-∞，0），不等式f（x）＞0恒成立，
即为m＜x²+x在x＜0恒成立，
由y=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
当x=-$\frac{1}{2}$时，取得最小值-$\frac{1}{4}$，
即为m＜-$\frac{1}{4}$．则m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，属于中档题．