Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求证：平面PCD⊥平面PBD；
（2）求证：PC∥平面EBD；
（3）求V_P-ABCD．

Answer 1

分析：（1）由已知中PB⊥底面ABCD，由线面垂直的性质可得PB⊥CD，结合CD⊥PD，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PCD⊥平面PBD；
（2）连接AC交BD于G，连接EG，由平行线分线段成比例定理，可得PC∥DE，再由线面平行的判定定理，可得PC∥平面EBD；
（3）求出底面ABCD的面积，结合PB⊥底面ABCD，将底面积和高代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：（1）证明：∵PB⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PB⊥CD，
又由 CD⊥PD，PB∩PD=P
∴CD⊥平面PBD
又∵CD?平面PCD
∴平面PCD⊥平面PBD；
（2）连接AC交BD于G，连接EG，

∴ AG GC = AD BC = 1 2 ，又 AE EP = 1 2

，
∴

AG

GC

=

AE

EP

∴PC∥DE
又∵PC?平面EBD，DE?平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=3，
由（1）中BD⊥CD得BC=6
∴S_梯形ABCD=

27

2

PB⊥底面ABCD，PB=3
∴V_P-ABCD=

1

3

•PBS_梯形ABCD=

27

2

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得CD⊥平面PBD，（2）的关键是证得PC∥DE，（3）的关键是求出底面ABCD的面积．