【题目】通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律\left(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知:
(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?
【答案】(1)讲课开始10分钟,学生的注意力最集中,能持续10分钟;(2)讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中;(3)经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.
【解析】试题分析:应用问题首先要认真细致的读题审题,本题为分段函数问题,根据分段函数问题分段处理原则,针对每一段函数根据相应的定义域要求,求出每一段的最大值,再比较得出最大值;比较两个函数值的大小,按两个自变量的大小,分别对号入座,求出相应的函数值后,再比较大小;分段函数解不等式问题,在每段的定义域下分别解不等式,再取三段的解集的并集.
试题解析:
(1)当0<t10时,f(t)=t2+24t+100
=(t12)2+244是增函数,且f(10)=240;
当20<t40时,f(t)=7t+380是减函数,
且f(20)=240.
所以,讲课开始10分钟,学生的注意力最集中,能持续10分钟。
(2)f(5)=195,f(25)=205,
故讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中。
(3)当0<t10时,f(t)=t2+24t+100=180,则t=4;
当20<t40时,令f(t)=7t+380=180,
t≈28.57,则学生注意力在180以上所持续的时间
28.574=24.57>24,
所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题。
【点精】应用问题首先要认真细致的审题,逐字逐句的读题,把实际问题转化为数学问题.本题为分段函数问题,根据分段函数问题分段处理原则,分段函数涉及到定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、解方程和解不等式诸多问题,分段函数的定义域为各段定义域的并集,求最值时,针对每一段函数根据相应的定义域要求,求出每一段的极大值,再比较得出最大值;比较两个函数值的大小,按两个自变量的大小,分别对号入座,求出相应的函数值后,再比较大小;分段函数解不等式问题,在每段的定义域下分别解不等式,再取三段的解集的并集;
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【题目】三棱锥中,
, △
是斜边
的等腰直角三角形, 以下结论中: ① 异面直线
与
所成的角为
;② 直线
平面
;③ 面
面
;④ 点
到平面
的距离是
. 其中正确结论的序号是 ____________________ .
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【题目】已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2时,恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
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【题目】设函数.
(1)当时,函数
与
在
处的切线互相垂直,求
的值;
(2)若函数在定义域内不单调,求
的取值范围;
(3)是否存在正实数,使得
对任意正实数
恒成立?若存在,求出满足条件的实数
;若不存在,请说明理由.
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【题目】某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.
(1)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?
购买意愿强 | 购买意愿弱 | 合计 | |
20~40岁 | |||
大于40岁 | |||
合计 |
(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为,求
的分布列和数学期望.
附:.
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【题目】已知函数,
满足关系
(其中
是常数).
()如果
,
,求函数
的值域;
()如果
,
,且对任意
,存在
,
,使得
恒成立,求
的最小值;
()如果
,求函数
的最小正周期(只需写出结论).
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【题目】下面给出四种说法:
①用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好;
②命题P:“x0∈R,x02﹣x0﹣1>0”的否定是¬P:“x∈R,x2﹣x﹣1≤0”;
③设随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(x>1)=p则P(﹣1<X<0)= ﹣p
④回归直线一定过样本点的中心( ).
其中正确的说法有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【题目】如图所示,为了保护环境,实现城市绿化,某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD处规划一块长方形地面HPGC,建造住宅小区公园,但不能越过文物保护区三角形AEF的边线EF.已知AB=CD=200 m,BC=AD=160 m,AF=40 m,AE=60 m,问如何设计才能使公园占地面积最大,求出最大面积.
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【题目】已知椭圆E的右焦点与抛物线的焦点重合,点M
在椭圆E上.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)设,直线
与椭圆E交于A,B两点,若直线PA,PB关于x轴对称,求
的值.
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