[题目]如果函数的定义域为.且存在实常数a.使得对于定义域内任意x.都成立.则称此函数具有“性质 (1)判断函数是否具有“性质 .若具有“性质 .求出所有a的值的集合,若不具有“性质 .请说明理由,(2)已知函数具有“性质 .且当时..求函数在区间上的值域,(3)已知函数具有“性质 .又具有“性质 .且当时..若函数的图像与直线有2017个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如果函数的定义域为，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都成立，则称此函数具有“性质”

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“性质”，请说明理由；

（2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；

（3）已知函数具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有2017个公共点，求实数p的值.

【答案】（1）函数具有“性质”，所有a的值的集合为（2）答案不唯一，具体见解析（3）

【解析】

（1）根据题意可知，故而，；

（2）由新定义可推出为偶函数，从而求出在，上的解析式，讨论与，的关系判断的单调性得出的最值；

（3）根据新定义可知为周期为2的偶函数，作出的函数图象，根据函数图象得出的值．

解：（1）假设具有“性质”，则恒成立，

，

函数具有“性质”，且所有的值的集合为，．

（2）因为函数具有“性质”，所以恒成立，

是偶函数．

设，则，．

①当时，函数在，上递增，值域为，．

②当时，函数在，上递减，在，上递增，

，，值域为，．

③当时，，，值域为，．

④时，函数在，上递减，值域为，．

（3）既具有“性质”，即，函数偶函数，

又具有“（2）性质”，即，

函数是以2为周期的函数．

作出函数的图象如图所示：

由图象可知，当时，函数与直线交于点，，即有无数个交点，不合题意．

当时，在区间，上，函数有1008个周期，要使函数的图象与直线有2017个交点，

则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰好为，所以．

同理，当时，．

综上，．

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