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已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0)的图象在(2,f(2))处的切线与x轴平行.
(1)求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间;
(2)证明:对任意实数0<x1<x2<1,关于x的方程:在(x1,x2)恒有实数解
(3)结合(2)的结论,其实我们有拉格朗日中值定理:若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数,且在区间(a,b)内导数都存在,则在(a,b)内至少存在一点x,使得.如我们所学过的指、对数函数,正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明:
当0<a<b时,(可不用证明函数的连续性和可导性).
【答案】分析:(1)先对函数f(x)进行求导,又根据f'(2)=0可得到关于m的代数式.再将m的代数式n代入函数f(x)中消去n,可得f'(x)=3mx2-6mx,当f'(x)>0时x的取值区间为所求.
(2)由于=m(x12+x22+x1x2-3x1-3x2)从而,可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0,令h(x)=3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2,计算则h(x1)h(x2)<0,根据零点存在定理得h(x)=0在区间(x1,x2)内必有解,从而得到证明;
(3)令g(x)=lnx,x∈(a,b),则g(x)符合拉格朗日中值定理的条件,即存在x∈(a,b),使,由于函数g′(x)=的性质即可证得结果.
解答:解:(1)因为f'(x)=3mx2+2nx,------(1分)
由已知有f'(2)=0,所以3m+n=0即n=-3m------(2分)
即f'(x)=3mx2-6mx,由f'(x)>0知mx(x-2)>0.
当m>0时得x<0或x>2,f(x)的减区间为(0,2);-----(3分)
当m<0时得:0<x<2,f(x)的减区间为(-∞,0)和(2,+∞);-----(4分)
综上所述:当m>0时,f(x)的减区间为(0,2);
当m<0时,f(x)的减区间为(-∞,0)和(2,+∞);-----(5分)
(2)∵=m(x12+x22+x1x2-3x1-3x2),------------(6分)

可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0,令h(x)=3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2-------(7分)
则h(x1)=(x1-x2)(2x1+x2-3),h(x2)=(x2-x1)(x1+2x2-3),
即h(x1)h(x2)=-(x1-x22(2x1+x2-3)(x1+2x2-3)又因为0<x1<x2<1,所以(2x1+x2-3)<0,(x1+2x2-3)<0,即h(x1)h(x2)<0,-----------(8分)
故h(x)=0在区间(x1,x2)内必有解,
即关于x的方程在(x1,x2)恒有实数解-----(9分)
(3)令g(x)=lnx,x∈(a,b),-----------(10分)
则g(x)符合拉格朗日中值定理的条件,即存在x∈(a,b),
使-----------(11分)
因为g′(x)=,由x∈(a,b),0<a<b可知g′(x)∈(),b-a>0-----(12分)

-----(14分)
点评:本小题主要考查导数的运算、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法\拉格朗日中值定理等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=m•2x+t的图象经过点A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn为数列{an}的前n项和,n∈N*
(1)求Sn及an
(2)若数列{cn}满足cn=6nan-n,求数列{cn}的前n项和Tn

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已知函数f(x)=m(x+
1
x
)的图象与h(x)=(x+
1
x
)+2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是减函数,求实数a的取值范围.

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已知函数f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范围;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=
3
,b+c=3,当ω最大时,f(A)=1,求△ABC的面积.

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以下两题任选一题:(若两题都作,按第一题评分)
(一):在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的圆心到直线θ=
π
3
(ρ∈R)的距离
3
2
3
2

(二):已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,当不等式f(x+2)≥0的解集为[-2,2]时,实数m的值为
2
2

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已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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